第318章 抛砖引玉（2 / 2）

比如，一个简单曲线如椭圆可能有无限多个有理点，但复杂曲线就不行，它总有个上限。

为什麽重要？

它连接了代数丶几何和数论，帮助数学家理解数字和形状的深层规律，就像证明「无限点不会乱跑」一样。

大家可以想成：数学世界里，有些「地图」上可走的「路点」有限，不会没完没了。

今年的纽约数学家大会放在纽约大学库朗数学研究所的礼堂里，喻喻作响的期待声简直比蜜蜂养殖场还要更喧嚣。

自从福克斯把消息放出去之后，全阿美莉卡有名有姓的数学家齐聚一堂。

大家哪怕不做这个领域研究，也提前做了充分准备，对莫德尔猜想以及相关论文都做了提前的研究，避免听不懂林燃的学术讲座。

在数学界隐隐有一种说法，说林燃要是再继续在白宫干下去，早晚有一天，纽约数学家大会会比四年一度的国际数学家大会还更重要。

林燃从第一排走上讲台，台上除了麦克风和提前准备好的黑板外别无他物。

他拍了拍麦克风，确保声音足够清晰：

「各位同行，我一直是哥伦比亚大学的数学系教授，但可能和各位交流的时间要比和哥伦比亚大学的同学们交流的时间还要更多，这让我有些惭愧，希望能够早点离开白宫回到学术界，能够和更多数学界的同行们交流。」

林燃的开场白就让台下哗然一片，这是林燃第一次表示出对华盛顿的厌倦以及表现出回归学术界的想法。

因此当他说完后，台下福克斯直接就高声道：「教授，哥伦比亚欢迎你，我相信校长先生要是知道这个消息，他估计要高兴的睡不着觉。」

普林斯顿的数学教授们则脸色不太好看，他们感觉普林斯顿数学圣地要地位不保了。

「哈哈。」林燃没有正面回答，接着说道：「今天我主要讲一讲关于莫德尔猜想的证明，另外我会展示多条路径抵达最终的目的地。」

听众们身子前倾，大家都在窃窃私语。

证明莫德尔猜想已经很厉害了，你还要用多种办法。

「不愧是教授。」

「这就是教授的风格，他总是能做到外界所认为不可能的事情。」

「不枉我特意从多伦多飞过来。」

林燃在黑板上写下一个数字「3」

「我用到的融合路径都体现了数论丶代数几何和高度函数的深层互动，我希望大家能够从中获得一些数学未来统一的灵感。」

林燃看着台下观众们聚精会神的表情，他继续说道：「首先，考虑一种基于沙法列维奇猜想的途径，虽然它本身还未完全证实，但假设我们能证明阿贝尔簇的有限性定理。

通过帕申的技巧，我们可以将曲线问题归约到数域上的有限覆盖，从而证明有理点的有限性。

这里，代数几何提供基础：使用有限平坦群方案和p-可分群，将几何对象转化为有限结构，避免了棘手的算术黎曼-罗赫定理。」

他顿了顿，扫视全场，林燃已经感觉到大部分数学家理解起来已经开始出现困难了。

「其次，我引入泰特猜想的应用：通过端同构的有限性，将雅可比簇的同调与高度函数比较。

想像一下，西格尔模变种作为桥梁，比较度量和朴素高度，从而界定点的高度上限，

超过它，就不会有更多有理点，而不违背L函数的解析性质。

这体现了数论的伽罗瓦表示与几何的模空间的融合。」

安德鲁·韦尔举手问道：「教授，这种融合如何避免无限下降？难道不是循环论证吗？」

林燃笑了笑：「好问题，安德鲁。

我们在这个时候就需要借鉴丢番图逼近的想法，就像哈维做的那样，使用高度不等式和维塔的技巧来验证低亏格情形。

这不是孤立的，它是多种方法的结合，数论的L函数加上几何的概型理论，再加上计算的筛法，这体现了格罗滕迪克在《代数几何》中所展现的跨学科精神，同时又不仅仅是EGA。」

安德鲁还是觉得有问题，「但你的高度界是否能有效计算？毕竟莫德尔猜想的核心是有限性，而非具体数目。」

「当然，」林燃不假思索道，脑中闪过他曾经闲暇时间进行过的推导游戏：「通过锐化邦比耶里精炼，我将界限缩小到log（h)的因子，使其适用于实际检验。」

「好了，刚才讲的是整体的构想，接下来是具体的技术层面。

先引入阿贝尔簇和高度函数的融合，各位回忆一下，阿贝尔簇是椭圆曲线的更高维推广，是光滑丶适当丶连通的代数群方案。

我们从曲线c的雅可比簇Jac（C）入手，这是一个g维阿贝尔簇，捕捉了曲线的点和除子信息，引l入一个新的高度h_F（A)，这是一种Arakelov几何中的度量，定义为阿贝尔簇A的Neron模型的霍奇线丛的ArakeIov度数。

具体来说，对于数域K上的A.....

「...通过Zarhin技巧，我们将（A×A^√）~4转为本极化，减少到极化度1的情形，

这是整个证明的基石。

接下来，证明有限性Il：对于固定A，同构于A的簇集是有限的。这涉及p-可分群和p

adicHodge理论，计算等基因下的高度变化，确保高度集有限，从而推导出阿贝尔簇的等基因有限性.：：：

在讲完法尔廷斯的证明方法之后，林燃还基给了另外两条路径，第一条是基于丢番图逼近的证明思路，另外一个则是从p进数霍奇定理证明出发的证明。

后两种路径都没有具体技术层面，也就是说，大家谁想想到，谁就能发论文。

属于是公开发福利了。

整整一个半天的学术报告讲完之后，林燃说道：「各位，当我们回溯莫德尔猜想的证明之旅，从Arakelov几何，到泰特猜想的伽罗瓦表示，再到沙法列维奇的有限性和帕申技巧，我们看到的不仅仅是一个定理的征服，更是数学领域的伟大融合。

代数几何的概型理论是基石，L函数与表示论支撑着数论，高度函数的算术度量则桥接了无限与有限的鸿沟。

这不是孤立的胜利，而是不同细分领域的交汇：几何的优雅丶数论的深邃丶分析的严谨，共同促成了莫德尔猜想的解决。

格罗滕迪克的《代数几何》很好，他告诉我，有无数数学家正在为数学的大一统以自已的角度做出自己的责献。

我今天在这里，属于是抛砖引玉的行为。」

林燃简单介绍了一下华国抛砖引玉的典故。

然后接着说道：「希望各位，能够基于数学融合的理念，解决更多更好的问题，能够为数学融合做出一份贡献。

登月需要数万名工程师的共同努力，同样我相信数学的大一统，绝对不是某一个或者某几个数学家就能够做到的事情。

在这里和诸位共勉。」